artemshevchuk (artemshevchuk) wrote,
artemshevchuk
artemshevchuk

Category:

Парадокс Монти Холла

В одной из прочитанных мною книг натнкнулся на интересную загадку, которой хочу поделиться с Вами.

Представьте, что вы стали участником игры, в которой вам нужно выбрать одну из трех дверей. За одной из дверей находится мешок с деньгами, за двумя другими дверями — мусорные мешки.

Вы выбираете одну из дверей, например, номер 1, после этого ведущий, который знает, где находится мешок с деньгами, а где — с мусором, открывает одну из оставшихся дверей, например, номер 3, за которой находится мешок с мусором. После этого он спрашивает вас, не желаете ли вы изменить свой выбор и выбрать дверь номер 2. Увеличатся ли ваши шансы выиграть мешок с деньгами, если вы примете предложение ведущего и измените свой выбор?

Выбрать дверь

Условия:
  • мешок с деньгами равновероятно размещен за любой из 3 дверей;
  • ведущий в любом случае обязан открыть дверь с мешком с мусором и предложить игроку изменить выбор, но только не дверь, которую выбрал игрок;
  • если у ведущего есть выбор, какую из 2 дверей открыть, он выбирает любую из них с одинаковой вероятностью.

Решение:
Эта загадка называется Парадокс Монти Холла (в честь ведущего американской телевикторины). Изначально речь в ней идет не о мешках с деньгами и мусором, а о том, что за дверью автомобиль и козлы. Я продолжу на примере истории с автомобилем и козлами, т.к. есть на этот счет симпатичные иллюстрации и описание решения, которое я подсмотрел у другого блогера.

Итак, переходим к решению.

Представьте, что вы участвуете в телешоу. Перед вами три одинаковых двери. За одной из них (неизвестно, за какой) скрывается автомобиль. Если угадаете нужную дверь, он ваш. За двумя другими дверями спрятано по козлу. Если не угадаете автомобиль, придется забирать козла, а у вас квартира маленькая и вообще.
monty_hall_paradox_1

Правила игры простые. Вы тыкаете пальцем в одну из дверей (ну, например, в первую).
monty_hall_paradox_2

Затем ведущий телешоу Монти Холл (это такой буржуйский Якубович), которому точно известно, где находится автомобиль, открывает одну из оставшихся дверей – причем заведомо ту, за которой скрывается козел (пусть этой дверью оказалась дверь номер два). И после этого ведущий предлагает вам изменить свое решение и выбрать другую дверь (в нашем случае дверь номер три).
monty_hall_paradox_3

Внимание, вопрос: повысятся ли шансы выиграть автомобиль, если вы согласитесь открыть не первую дверь, а третью?

Подумайте хотя бы полминуты. Если у вас был курс теории вероятности, вспомните его.

Итак, что вы решили?
Правильный ответ: если вы измените свое решение и откроете третью дверь, ваши шансы выиграть возрастут ровно вдвое.

Не верите? Никто не верит. Поэтому эта задачка и называется парадоксом.

Ладно, давайте разберемся сами.

Вы выбрали одну из дверей (пусть дверь номер один). Разобьем двери на два множества: множество А, куда входит выбранная вами дверь, и множество В, в которое входят оставшиеся двери. Вероятность того, что автомобиль попал во множество А, равна 1/3. Вероятность того, что он попал во множество В, равна 2/3.
monty_hall_paradox_4

Если бы вам предложили вместо множества А выбрать всё множество В (открыть сразу обе двери №2 и №3), вы бы, конечно, согласились: ведь во множестве В вероятность найти авто вдвое выше.

Рассмотрим множество В пристальнее. Вы абсолютно точно знаете, что во множестве В скрывается, как минимум, один козел. Вы знаете, что во множестве В, возможно, скрывается автомобиль. Если Монти Холл откроет одну из дверей множества В и продемонстрирует вам козла, никакой новой информации о множестве В вы не получите: вы по-прежнему будете знать, что во множестве В есть, как минимум, один козел и, возможно, один автомобиль.
monty_hall_paradox_5

Таким образом, после открытия козлиной двери ничего не изменилось, и множество В по-прежнему привлекательнее с точки зрения выигрыша (см. предыдущий абзац). Выбрав неоткрытую дверь множества В, вы получаете вероятность выигрыша 2/3 против вероятности 1/3 для множества А.

Если подходить к решению добросовестно, то нужно расписать несколько формул.

Итак, у нас два множества: А (с выбранной на первом шаге дверью №1) и В (с двумя оставшимися дверями).

Вероятности выигрыша для дверей №2 и №3 описываются следующими формулами:

P(2)= 1/2 * 2/3 = 1/3
P(3)= 1/2 * 2/3 = 1/3

Где 1/2 - условная вероятность выигрыша для данной двери при условии, что игрок изначально выбрал дверь без автомобиля.

Ведущий, открывая проигрышную дверь (пусть дверь №2), меняет условные вероятности с 1/2 и 1/2 на 0 и 1.

P(2)= 0 * 2/3 = 0
P(3)= 1 * 2/3 = 2/3

Как мы видим, вероятность найти автомобиль за дверью №3 равна 2/3. Таким образом, после открытия двери с козлом игроку всегда выгодно менять первоначальный выбор.

Если же вам непонятно все равно, плюньте на формулы и просто проверьте всё статистически.

Такая вот занимательная математика.

P.S. Ну, и от себя еще добавлю вот этот эпизод из фильма "21"
 

Tags: Парадокс Монти Холла, вероятность, двери, загадка, задача, интуиция, парадокс, теория вероятности
Subscribe
  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 3 comments